复合函数求导例题100道
求导：
y=3^(3-4x)
y'=[3^(3-4x)](ln3)(-4)=-4ln3[3^(3-4x)]
y=sin[ln(4-x)]
y'={cos[ln(4-x)]}[-1/(4-x)]=[1/(x-4)]cos[ln(4-x)]
y=arccos√(2-3x)
y'=-{-3/[2√(2-3x)]}/√[1-(2-3x)]=3/{2√[(2-3x)(-1+3x)]}=3/[2√(-9x²+9x-2)]
y=lnsin√(x³+1)
求一个复合函数求导的例子
复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x）
举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）
原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u，中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2，最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
复合函数求导例题
我建议将偏导数定义,和全微分概念搞透,其它就迎刃而解,偏导数就是对函数的某一变量求导而将其它变量看作常量,全微分是对所有变量微分.因此本题复合函数求导就容易理解了
,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分
:
∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)
df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx
∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)
左右二边除以dx
,可得:
φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')
因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!
为什么不看书,
∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),
⊿f(x,f(x,x))=
f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))
f1'=∂f(x,y)/∂x
这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,
只要记住属于第几变量即可.同理
f2'
就是对第二个变量求偏导数
至于这个变量用什么符合尽可不管.
f(x,y)某
单一变量的增量:
⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y)
,
(y不变),
⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y
+⊿y)-f(x,y+⊿y)
,
(
y+⊿y
保持不变)
前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,
当⊿x→0时
∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x
∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x
当⊿x
→0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x=
f1'
注意:
∂f(x,y)/∂x
≠
∂f(x,y+⊿y)/∂x
(y≠y+⊿y,
只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.
这表示从(x+⊿x,y)点
沿
y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点
(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以
y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.
当⊿x→0,
同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点
∴⊿f=f(x+⊿x,y
+⊿y)-f(x,y)
=
f(x+⊿x,y
+⊿y)-f(x,y+⊿y)
+f(x,y+⊿y)-f(x,y)
=×⊿x+/⊿y
=
f1'⊿x
+f2'⊿y
(
⊿x
→0,⊿y→0,f1'
,f2'
对应(x,y)点取偏导)
因此
全微分概念这才能帮助理解透彻!
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